If $$\vec u,\,\vec v$$  and $${\vec w}$$ are three non-coplanar vectors, then $$\left( {\vec u + \vec v - \vec w} \right).\left( {\vec u - \vec v} \right) \times \left( {\vec v - \vec w} \right)$$       equals :

Solution :
$$\eqalign{ & \left( {\vec u + \vec v - \vec w} \right).\left( {\vec u \times \vec v - \vec u \times \vec w - \vec v \times \vec v + \vec v \times \vec w} \right) \cr & = \left( {\vec u + \vec v - \vec w} \right).\left( {\vec u \times \vec v - \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w} \right) \cr & = \vec u.\left( {\vec u \times \vec v} \right) - \vec u.\left( {\vec u \times \vec w} \right) + \vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right) + \vec v.\left( {\vec u \times \vec v} \right) - \vec v.\left( {\vec u \times \vec w} \right) + \vec v.\left( {\vec v \times \vec w} \right) - \vec w.\left( {\vec u \times \vec v} \right) + \vec w.\left( {\vec u \times \vec w} \right) - \vec w.\left( {\vec u \times \vec w} \right) \cr & = \vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right) - \vec v.\left( {\vec u \times \vec w} \right) - \vec w.\left( {\vec u \times \vec v} \right) \cr & = \left[ {\vec u\,\vec v\,\vec w} \right] + \left[ {\vec v\,\vec w\,\vec u} \right] - \left[ {\vec w\,\vec u\,\vec v} \right] \cr & = \vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right) \cr} $$