Question
If $$^{n - 1}{C_r} = \left( {{k^2} - 3} \right){\,^n}{C_{r + 1}},$$ then $$k \in $$
A.
$$\left( { - \infty , - 2} \right]$$
B.
$$\left[ {2,\infty } \right)$$
C.
$$\left[ { - \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right]$$
D.
$$\left( {\sqrt 3 ,2} \right]$$
Answer :
$$\left( {\sqrt 3 ,2} \right]$$
Solution :
$$\eqalign{
& ^{n - 1}{C_r} = {\,^n}{C_{r + 1}}\left( {{k^2} - 3} \right) \cr
& \Rightarrow \,\,{k^2} - 3 = \frac{{^{n - 1}{C_r}}}{{^n{C_{r + 1}}}} = \frac{{r + 1}}{n} \cr
& {\text{Since }}0 \leqslant r \leqslant n - 1 \cr
& \Rightarrow \,\,1 \leqslant r + 1 \leqslant n \cr
& \Rightarrow \,\,\frac{1}{n} \leqslant \frac{{r + 1}}{n} \leqslant 1 \cr
& \Rightarrow \,\,\frac{1}{n} \leqslant {k^2} - 3 \leqslant 1 \cr
& \Rightarrow \,\,3 + \frac{1}{n} \leqslant {k^2} \leqslant 4 \cr
& \Rightarrow \,\,\sqrt {3 + \frac{1}{n}} \leqslant k \leqslant 2 \cr
& {\text{as }}\,n \to \infty \cr
& \Rightarrow \,\,\sqrt 3 < k \leqslant 2 \cr
& \Rightarrow \,\,k \in \left( {\sqrt 3 ,2} \right] \cr} $$