Question
If $${\cos ^4}x + {\sin ^2}x - p = 0,p \in R$$ has real solutions then
A.
$$p \leqslant 1$$
B.
$$\frac{3}{4} \leqslant p \leqslant 1$$
C.
$$p \geqslant \frac{3}{4}$$
D.
None of these
Answer :
$$\frac{3}{4} \leqslant p \leqslant 1$$
Solution :
$$\eqalign{
& {\cos ^4}x - {\cos ^2}x + 1 - p = 0;\,{\text{as }}0 \leqslant {\cos ^2}x \leqslant 1,\,{\text{the roots of }}{y^2} - y + 1 - p = 0\,\,{\text{lie between 0 and 1}}{\text{.}} \cr
& \therefore \,\,\alpha \geqslant 0,\beta \geqslant 0,\alpha - 1 \leqslant 0,\beta - 1 \leqslant 0\,\,{\text{and }}D \geqslant 0 \cr
& \Rightarrow \,\,\alpha + \beta \geqslant 0,\alpha \beta \geqslant 0,\alpha + \beta - 2 \leqslant 0,\alpha \beta - \left( {\alpha + \beta } \right) + 1 \geqslant 0\,\,{\text{and }}D \geqslant 0 \cr
& \therefore \,\,1 \geqslant 0,1 - p \geqslant 0,1 - 2 \leqslant 0,1 - p - 1 + 1 \geqslant 0\,\,{\text{and }}1 - 4\left( {1 - p} \right) \geqslant 0. \cr} $$