Question
If $$A = {\sin ^2}x + {\cos ^4}x,$$ then for all real $$x$$:
A.
$$\frac{{13}}{{16}} \leqslant A \leqslant 1$$
B.
$$1 \leqslant A \leqslant 2$$
C.
$$\frac{3}{4} \leqslant A \leqslant \frac{{13}}{{16}}$$
D.
$$\frac{{3}}{{4}} \leqslant A \leqslant 1$$
Answer :
$$\frac{{3}}{{4}} \leqslant A \leqslant 1$$
Solution :
$$\eqalign{
& A = {\sin ^2}x + {\cos ^4}x \cr
& = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) \cr
& = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - \frac{1}{4}{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} \cr
& = 1 - \frac{1}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right) \cr
& {\text{Now }}0 \leqslant {\sin ^2}\left( {2x} \right) \leqslant 1 \cr
& \Rightarrow \,\,0 \geqslant - \frac{1}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right) \geqslant - \frac{1}{4} \cr
& \Rightarrow \,\,1 \geqslant 1 - \frac{1}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right) \geqslant 1 - \frac{1}{4} \cr
& \Rightarrow \,\,1 \geqslant A \geqslant \frac{3}{4} \cr} $$