If $$\vec a = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\left( {3\hat i + \hat k} \right)$$    and $$\vec b = \frac{1}{7}\left( {2\hat i + 3\hat j - 6\hat k} \right),$$     then the value of $$\left( {2\vec a - \vec b} \right)\left[ {\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \left( {\vec a + 2\vec b} \right)} \right]$$      is :

Solution :
$$\eqalign{ & {\text{We have, }}\vec a.\vec b = 0,\,\,\,\vec a.\vec a = 1,\,\,\vec b.\vec b = 1 \cr & \left( {2\vec a - \vec b} \right).\left[ {\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \left( {\vec a + 2\vec b} \right)} \right] \cr & = \left( {2\vec a - \vec b} \right).\left[ {\left\{ {\vec a.\left( {\vec a + 2\vec b} \right)} \right\}\vec b - \left\{ {\vec b.\left( {\vec a + 2\vec b} \right)\vec a} \right\}} \right] \cr & = \left( {2\vec a - \vec b} \right).\left[ {\left( {\vec a.\vec a + 2\vec a.\vec b} \right)\vec b - \left( {\vec a.\vec b + 2\vec b.\vec b} \right)\vec a} \right] \cr & = \left( {2\vec a - \vec b} \right).\left[ {\left( {\vec b - 2\vec a} \right)} \right] \cr & = 4\vec a.\vec b - \vec b.\vec b - 4\vec a.\vec a \cr & = - 5 \cr} $$