If $$\int\limits_1^2 {\left\{ {{K^2} + \left( {4 - 4k} \right)x + 4{x^3}} \right\}} dx \leqslant 12,$$        then which one of the following is correct ?

Solution :
$$\eqalign{ & {\text{Let }}\int\limits_1^2 {\left\{ {{K^2} + \left( {4 - 4K} \right)x + 4{x^3}} \right\}} dx \leqslant 12 \cr & \Rightarrow \left. {{K^2}x + \frac{{\left( {4 - 4K} \right){x^2}}}{2} + \frac{{4{x^4}}}{4}} \right|_1^2 \leqslant 12 \cr & \Rightarrow \left[ {2{K^2} + \left( {2 - 2K} \right)\left( 4 \right) + 16} \right] - \left[ {{K^2} + \left( {2 - 2K} \right) + 1} \right] \leqslant 12 \cr & \Rightarrow \left( {2{K^2} + 8 - 8K + 16} \right) - \left( {{K^2} - 2K + 3} \right) \leqslant 12 \cr & \Rightarrow {K^2} - 6K + 21 \leqslant 12 \cr & \Rightarrow {K^2} - 6K + 9 \leqslant 0 \cr & \Rightarrow {\left( {K - 3} \right)^2} \leqslant 0 \cr & \Rightarrow K = 3 \cr} $$