Question
$$\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b \,\,\overrightarrow b + \overrightarrow c \,\,\overrightarrow c + \overrightarrow a } \right]$$ is equal to :
A.
$$2\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right]$$
B.
$$3\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right]$$
C.
$$\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right]$$
D.
$$0$$
Answer :
$$2\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right]$$
Solution :
$$\eqalign{
& \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \cr
& \therefore \,\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b \,\,\overrightarrow b + \overrightarrow c \,\,\overrightarrow c + \overrightarrow a } \right] = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right).\left( {\overrightarrow c .\overrightarrow a } \right) \cr
& = \left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right] + \left[ {\overrightarrow b \,\overrightarrow c \,\overrightarrow a } \right]\left( {\because \,\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right] = 0{\text{ if two vectors are equal}}} \right) \cr
& = \left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right] + \left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right] \cr
& = 2\left[ {\overrightarrow a \,\overrightarrow b \,\overrightarrow c } \right] \cr} $$