Question
If $$f\left( {a + b - x} \right) = f\left( x \right)$$ then $$\int\limits_a^b {x\,f\left( x \right)dx} $$ is equal to-
A.
$$\frac{{a + b}}{2}\int\limits_a^b {f\left( {a + b + x} \right)dx} $$
B.
$$\frac{{a + b}}{2}\int\limits_a^b {f\left( {b - x} \right)dx} $$
C.
$$\frac{{a + b}}{2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$
D.
$$\frac{{b - a}}{2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$
Answer :
$$\frac{{a + b}}{2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$
Solution :
$$\eqalign{
& I = \int\limits_a^b {x\,f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\left( {a + b - x} \right)f\left( {a + b - x} \right)dx} \cr
& = \left( {a + b} \right)\int\limits_a^b {f\left( {a + b - x} \right)dx - \int\limits_a^b {x\,f\left( {a + b - x} \right)dx} } \cr
& = \left( {a + b} \right)\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {x\,f\left( x \right)} dx \cr
& \left[ {\because {\text{ given that }}f\left( {a + b - x} \right) = f\left( x \right)} \right] \cr
& 2I = \left( {a + b} \right)\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \cr
& \Rightarrow I = \frac{{\left( {a + b} \right)}}{2}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \cr} $$