Question
If $$\vec a,\,\vec b$$ and $$\vec c$$ are three non coplanar vectors, then $$\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right).\left[ {\left( {\vec a + \vec b} \right) \times \left( {\vec a + \vec c} \right)} \right]$$ equals :
A.
$$0$$
B.
$$\left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right]$$
C.
$$2\left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right]$$
D.
$$ - \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right]$$
Answer :
$$ - \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right]$$
Solution :
$$\eqalign{
& \left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right).\left[ {\left( {\vec a + \vec b} \right) \times \left( {\vec a + \vec c} \right)} \right] \cr
& = \left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right).\left[ {\vec a \times \vec a + \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec a + \vec b \times \vec c} \right] \cr
& = \left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right).\left[ {\vec a \times \vec c + \vec b \times \vec a + \vec b \times \vec c} \right]\,\,\,\,\,\left[ {\because \vec a \times \vec a = 0} \right] \cr
& = \vec a.\vec a \times \vec c + \vec a.\vec b \times \vec a + \vec a.\vec b \times \vec c + \vec b.\vec a \times \vec c + \vec b.\vec b \times \vec a + \vec b.\vec b \times \vec c + \vec c.\vec a \times \vec c + \vec c.\vec b \times \vec a + \vec c.\vec b \times \vec c \cr
& = \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right] - \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right] - \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right] \cr
& = - \left[ {\vec a\,\vec b\,\vec c} \right] \cr} $$