Question
$$\int\limits_0^\pi {x\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} $$ is equal to-
A.
$$\pi \int\limits_0^\pi {\,f\left( {\cos \,x} \right)dx} $$
B.
$$\pi \int\limits_0^\pi {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} $$
C.
$$\frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} $$
D.
$$\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\cos \,x} \right)dx} $$
Answer :
$$\pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\cos \,x} \right)dx} $$
Solution :
$$\eqalign{
& I = \int\limits_0^\pi {x\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - x} \right)\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} \cr
& = \pi \int\limits_0^\pi {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} - I\,\, \Rightarrow 2I = \pi \int\limits_0^\pi {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} \cr
& I = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\sin \,x} \right)dx} \cr
& = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\,f\left( {\cos \,x} \right)dx} \cr} $$